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Analysis auf einer Nichtarchimedischen Erweiterung der Reellen Zahlen


Abstract

Eine nichtarchimedische Erweiterung der reellen Zahlen wird vorgestellt. Die Erweiterung ist ein total geordneter Körper und hat ähnliche algebraische Eigenschaften wie die reellen Zahlen; zum Beispiel existieren alle Wurzeln positiver Zahlen. Außerdem ist die Erweiterung vollständig in dem Sinne, daß jede Cauchy-Folge konvergiert. Analog erhält man auch eine Erweiterung der komplexen Zahlen; diese ist algebraisch abgeschlossen. Es wird gezeigt, daß die angegebene Erweiterung die kleinstmögliche ist, die die geforderten Eigenschaften hat.

Auf den erweiterten Zahlbereichen kann man Konzepte der Analysis einführen. Zu jeder reellen Funktion gibt es eine Fortsetzung in den neuen Körper mit den gleichen Glattheitseigenschaften. Außerdem kann man in dem Körper uneigentliche Funktionen wie die Deltafunktion auf ganz natürliche Weise einführen. Ähnlich wie in der Nonstandard Analysis kann man die reellen Ableitungen von fortgesetzten Funktionen rein algebraisch durch Ausrechnen des Differenzenquotienten für unendlich kleine Differenz bestimmen. Aussagen wie Zwischenwertsatz, Mittelwertsätze und der Satz von Taylor gelten ähnlich wie für reelle Funktionen.

Der erweiterte Zahlkörper erlaubt interessante Anwendungen. Er läßt sich (mit für die Praxis unerheblichen Einschränkungen) auf Neumann-Rechnern implementieren. Dies gilt nicht für die (nichtkonstruktiven) Strukturen der Nonstandard-Analysis, und auch nicht für die intuitiv sehr gut motivierten Konzepte von Schmieden und Laugwitz. Einerseits ist mit der Implementierung des erweiterten Zahlkörpers die rechnerische Behandlung von uneigentlichen Funktionen, insbesondere von Deltafunktionen, möglich. Andererseits ermöglicht die Erweiterung eine elegante, und im Gegensatz zu numerischen Verfahren sehr genaue Bestimmung von Ableitungen.


M. Berz, Monograph, in German MSUCL-753, Department of Physics and Astronomy, Michigan State University (1990)


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